素数を見つける方法と100までの素数の簡単な判断の仕方

生徒「先生、素数って全部で何個くらいあるの?」

ひろろ「素数は無限にありますよ」

生徒「え、じゃあ、全部覚えられないじゃん」

ひろろ「覚える必要はありません。とりあえずは20くらいまでの素数を覚えましょう」

30までの素数:2,3,5,7,11,13,17,19

ひろろ「できれば100までの数字は・・・覚えなくてもいいけど素数かどうか判断できたらいいですね」

生徒「え、覚えるんじゃなくて判断?計算でもするの?」

ひろろ「意外と簡単ですよ。では100までの素数を探してみましょう」

ひろろ「ここで、エラトステネスのふるいと言う方法を使ってみます。このように1~100まで書かれた紙を用意します。」

ひろろ「まずは、1は素数ではないので消します。そして、一番小さい数に丸を付けましょう。丸で囲まれたものが素数になっていきます。この場合は、『2』ですね」

ひろろ「素数を探していくので、素数でないものを消していきましょう。素数は『1と自分自身しか約数を持たない』ということでしたね。じゃあ、『2の倍数は素数ではない』と言うことができます。」

ひろろ「では、消されてない数の中で一番小さいものに丸を付けます。今回は『3』ですね」

ひろろ「さっきと同じように『3の倍数』を消します」

ひろろ「同じように『5』に丸を付けて、『5の倍数』を消します」

ひろろ「『7』に丸を付けて、『7』の倍数を消しますが、この時、気を付けてほしいのが、『91』は7×13で7の倍数です。70までは九九で行けると思います。今回は100までなので、70から7つずつ数えてもいいですね。」

ひろろ「やった後で悪いけど、この時、『7×7』以降を考えたらいいんだ。『7×2』や『7×5』はすでにやってることに気が付いたかな?」
ひろろ「じゃあ『11』に丸を付けましょう」


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ひろろ「実はこの状態で『丸がついているもの』そして『消されてないもの』が素数になります」

生徒「え、まだたくさん残ってるよ」

ひろろ「今回は100までなので、もう消せるものはないんです。いいですか、10までの倍数は全部消えているはずですよね」

生徒「うん・・・」

ひろろ「ということは、『11×10』までは考えなくていいんですよ。7の倍数を消すときにもやりましたね」

生徒「・・・あぁ!」

ひろろ「そう、『11×11』は『121』になるから、この表にはもうないんです」

生徒「100までの素数は調べられたけど、毎回これをしないといけないの?」

ひろろ「そうでもありません。今回知ってほしかったのは『ある数の倍数は素数ではない』ということなんです。つまり、2や3の倍数と分かればそれは素数ではないんですよ」

ひろろ「100までだったら実は『2,3,5,7の倍数か?』を考えるだけでわかるのです」

生徒「2の倍数は偶数だし、5の倍数も1の位を見れば(0か5になる)すぐわかるけど、3の倍数や7の倍数はすぐにわからないかも」

ひろろ「3の倍数は簡単です。十の位の数字と一の位の数字を足したものが3で割れたら、元の数字は3の倍数です」

例)3の倍数を簡単に計算する
・『51→5+1=6→6÷3=2』割り切れたので3の倍数
・『61→6+1=7→7÷3=2あまり1』割り切れないので3の倍数でない。
※何桁になったとしてもこの方法は使えます。

生徒「それならすぐにできそうだ。7の倍数は?」

ひろろ「頑張ってください(にっこり)」

生徒「えー」

ひろろ「まあ、70までは九九で行けますし、77は見た目でわかる。84はそもそも偶数で判断つくから、気を付けるのは91くらいですね。でもこれも、7に次の素数の13をかけたものなんですよ」

ひろろ「だから最初にとりあえずは20までの素数を覚えようね、って言ったんです」

ひろろ「じゃあ、今回は長くなったけど、ここまでにしましょう」

★今日のまとめ
 ・素数は無限にある
 ・20までの素数は覚えよう
 ・100までの素数なら『2,3,5,7の倍数か?』を考えるだけでOK
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コメント

  1. すみたに より:

    何で1は素数じゃないんですか?

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