素数を見つける方法と１００までの素数の簡単な判断の仕方

生徒「先生、素数って全部で何個くらいあるの？」

ひろろ「素数は無限にありますよ」

生徒「え、じゃあ、全部覚えられないじゃん」

ひろろ「覚える必要はありません。とりあえずは２０くらいまでの素数を覚えましょう」

３０までの素数：2,3,5,7,11,13,17,19

ひろろ「できれば１００までの数字は・・・覚えなくてもいいけど素数かどうか判断できたらいいですね」

生徒「え、覚えるんじゃなくて判断？計算でもするの？」

ひろろ「意外と簡単ですよ。では100までの素数を探してみましょう」

ひろろ「ここで、エラトステネスのふるいと言う方法を使ってみます。このように１～１００まで書かれた紙を用意します。」

ひろろ「まずは、１は素数ではないので消します。そして、一番小さい数に丸を付けましょう。丸で囲まれたものが素数になっていきます。この場合は、『２』ですね」

ひろろ「素数を探していくので、素数でないものを消していきましょう。素数は『１と自分自身しか約数を持たない』ということでしたね。じゃあ、『２の倍数は素数ではない』と言うことができます。」

ひろろ「では、消されてない数の中で一番小さいものに丸を付けます。今回は『３』ですね」

ひろろ「さっきと同じように『３の倍数』を消します」

ひろろ「同じように『５』に丸を付けて、『５の倍数』を消します」

ひろろ「『７』に丸を付けて、『７』の倍数を消しますが、この時、気を付けてほしいのが、『９１』は７×１３で７の倍数です。７０までは九九で行けると思います。今回は１００までなので、７０から７つずつ数えてもいいですね。」

ひろろ「やった後で悪いけど、この時、『７×７』以降を考えたらいいんだ。『７×２』や『７×５』はすでにやってることに気が付いたかな？」
ひろろ「じゃあ『１１』に丸を付けましょう」

 
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ひろろ「実はこの状態で『丸がついているもの』そして『消されてないもの』が素数になります」

生徒「え、まだたくさん残ってるよ」

ひろろ「今回は１００までなので、もう消せるものはないんです。いいですか、１０までの倍数は全部消えているはずですよね」

生徒「うん・・・」

ひろろ「ということは、『１１×１０』までは考えなくていいんですよ。７の倍数を消すときにもやりましたね」

生徒「・・・あぁ！」

ひろろ「そう、『１１×１１』は『１２１』になるから、この表にはもうないんです」

生徒「１００までの素数は調べられたけど、毎回これをしないといけないの？」

ひろろ「そうでもありません。今回知ってほしかったのは『ある数の倍数は素数ではない』ということなんです。つまり、２や３の倍数と分かればそれは素数ではないんですよ」

ひろろ「１００までだったら実は『2,3,5,7の倍数か？』を考えるだけでわかるのです」

生徒「２の倍数は偶数だし、５の倍数も１の位を見れば（０か５になる）すぐわかるけど、３の倍数や７の倍数はすぐにわからないかも」

ひろろ「３の倍数は簡単です。十の位の数字と一の位の数字を足したものが３で割れたら、元の数字は３の倍数です」

生徒「それならすぐにできそうだ。７の倍数は？」

ひろろ「頑張ってください（にっこり）」

生徒「えー」

ひろろ「まあ、７０までは九九で行けますし、７７は見た目でわかる。８４はそもそも偶数で判断つくから、気を付けるのは９１くらいですね。でもこれも、７に次の素数の１３をかけたものなんですよ」

ひろろ「だから最初にとりあえずは２０までの素数を覚えようね、って言ったんです」

ひろろ「じゃあ、今回は長くなったけど、ここまでにしましょう」

★今日のまとめ
 ・素数は無限にある
 ・２０までの素数は覚えよう
 ・１００までの素数なら『2,3,5,7の倍数か？』を考えるだけでＯＫ