1が素数ではない理由

生徒「先生、この前『1は素数ではない』ってサラッと言ってたけどなんで?」

数学をやっていくうちに『素数』を考えることが多くなります。ここでは100までの素数の見つけ方と見分け方を解説。

ひろろ「それは、『素因数分解の一意性を保つため』って説明ができるんだけど・・・」

生徒「・・・?」

ひろろ「だよね、じゃあ、まずは『一意性』を簡単に言うと、『答えは一つだけよ』という意味になるんだ」

ひろろ「例えば、『2+3』の答えはいくつあるかな?」

生徒「え、『5』以外にあるの?」

ひろろ「ないよね、答えは『一つだけ』になるよね」

生徒「でも、二次方程式って答え二つあるよね?」

ひろろ「例えば答えが『x=2,x=4』になる場合だよね。ところで、これ以外の答えで正解になることはあるかな?」

生徒「・・・ない」

ひろろ「こういうのを含めて『答えは一つ』なんだ。これが『一意性』。そして四則演算では答えが必ず一意的になるんです」

ひろろ「そして、素因数分解ではこの『一意性』が保たれていないと、とても面倒くさいことになるんですよ。大学の数学とかのときだけどね・・・」

生徒「むぅぅ・・・」

ひろろ「簡単に言うと『素因数分解の答えはひとつしかない』ってのが数学の決まりになっているんです。これを前提にすると・・・30を素因数分解するとどうなる?」

生徒「2×3×5」

ひろろ「だよね。他の答えってある?」

生徒「3×2×5」

ひろろ「順番入れ替えただけじゃん!それ同じ答え。掛け算の交換法則だよ」

生徒「えへへ、じゃあ、無いよ。2×3×5だけ」

ひろろ「これが『素因数分解の一意性』なんだ。じゃあ、仮に1が素数だとすると?」

生徒「1×2×3×5になるね」

ひろろ「まだだよ、『1×1×2×3×5』も答えになるんじゃない?」

生徒「それズルい。1を何回もかけられるジャン」

ひろろ「そう、そこなんだ。『1を何回もかけられる』このせいで答えが複数できちゃうの。つまり『素因数分解の一意性』が崩れちゃうわけ」

生徒「あー・・・」

ひろろ「ということで『素因数分解の一意性を保つため』『1は素数でないことにした』が答えになるかな」

生徒「なんか、適当な気もするけど」

ひろろ「たまに数学でもそういうことはあるよ。世の中には2進数とか8進数、12進数60進数を使ってる場合もあるけど、数学ではほぼ10進数を使ってるよね」

生徒「うん」

ひろろ「これも数学の都合上の問題なんだ。一番使いやすいから使ってる。ただそれだけの理由だよ」

生徒「わっかりました。ありがとうございます」

★今日のまとめ
・『1』が素数じゃないのは『素因数分解の一意性を保つ』ための数学の都合。
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