ある品物を消費税込みでキリのいい金額で売りたい場合どうするか？
それは（売値）÷１．１をして、小数点以下を切り上げすることで大体は求められます。
いろいろな金額で計算したところ、ある程度の法則があることがわかりました。
中学２年レベルの数式の証明を交えて解説します。
消費税込みでキリのいい値段にするときの元の値段
計算の前提として、消費税をかけた後の金額の小数点以下は切り捨てます。
例えば、税込み８００円にしたい場合……
８００÷１．１＝７２７．２７２７……
小数点以下をくりあげて、「７２８円」とすると、税込み「８００円」になります。
１０００円未満で見てみると……
９１円 → １００円
１８２円 → ２００円
２７３円 → ３００円
３６４円 → ４００円
４５５円 → ５００円
５６４円 → ６００円
６３７円 → ７００円
７２８円 → ８００円
８１９円 → ９００円
なお、税込み１０００円にしたい場合、小数点以下切り捨て方式だと面倒くさいことになります。
（税抜き）→ （×１．１） → （税込み）
９０９円 → ９９９．９円 → ９９９円
９１０円 → １００１円 → １００１円
税込み１０００円にしたければ、９０９．１円とかにすればいいのですが、そのあたりはお店の判断になるんでしょうね。
法則性を見つける
例えば「税込み３００万円」のように大きな金額だとわかりやすくなります。
税込み３００万円の税抜き額は「2,727,273円」。
２と７が繰り返されていることから、何らかの法則性があるかと思われます。
試しに４桁の金額で考えてみます。
千の位の数字をａ、百の位をｂ、十の位をｃ、一の位をｄとします。
例）「１３５７円」ならば「ａ＝１,ｂ＝３,ｃ＝５,ｄ＝７」
元になる４桁の金額は「1000a+100b+10c+d」で表すことができます。
元の値段の１０％は「100a+10b+c+0.1d」となり、小数点以下を切り捨てると「100a+10b+c」となります。
これらを足すことで、消費税１０％がかかった金額が出ます。
(1000a+100b+10c+d)+(100a+10b+c)
=1000a+100(a+b)+10(b+c)+(c+d)
ここで、キリのいい数字ということはもとになる４桁の金額で一・十・百の位を０にすることです。
くりあがりを考慮すると……
a+b=9 …(1)
b+c=9 …(2)
c+d=10 …(3)
これらを満たせばよいことがわかります。
すると(1)より b=9-a …(4)
(4)を(2)に代入すると c=9-b=9-(9-a)=a …(5)
(5)を(3)に代入すると d=10-c=10-a
これらを元になる値段に代入すると……
1000a+100(9-a)+10a+(10-a)
となることがわかります。
５桁の場合も計算してみます。
万の位をａ、順にｂ，ｃ，ｄと置き、一の位をｅとする。
４桁の場合の手法で計算していくと、最後に「ｅ=ａ＋１」となり……
10000a+1000(9-a)+100a+10(9-a)+(a+1)
となります。奇数桁と偶数桁で式の形が変わります。
式に対する考察
「消費税込みでキリのいい値段にするときの元の値段」を考えています。
ここまでは数式を使って元の値段（税抜き価格）を考えていました。
その式がこちらです。
奇数桁：1000a+100(9-a)+10a+(10-a)
偶数桁：10000a+1000(9-a)+100a+10(9-a)+(a+1)
まず、特徴的なところを考えてみます。一の位以外は”a”と”9-a”の繰り返しがありますね。これは各桁に使われている数字になります。
例を挙げると「１２３４」という数字の場合、百の位に使われている数字は「２」ということです。
そこで、これら隣り合う桁の数字を加えてみると……
ａ＋（９－ａ）＝９
となります。
これは、隣り合う桁を加えると必ず９になるということです。
では十の位と一の位はどうなっているか？
同じように加えてみましょう。
奇数桁：ａ＋（１０－ａ）＝１０
偶数桁：（９－ａ）＋（ａ＋１）＝１０
となり、十の位と一の位を足すと必ず１０になることがわかります。
式に対する検証
「消費税込みでキリのいい値段にするときの元の値段」は、一の位を除く桁で『隣り合う桁の合計が９』であること、『十の位と一の位の合計が１０』であることが必要であるとわかりました。
では、実際に試してみましょう。
まずは３万円ぴったりを出してみます。
一万円の位は２となるので、千の位は「９－２」で７。
百の位は「９－７」で２。十の位は「９－２」で７。
一の位は十の位と足すと１０になるので「１０－７」で３。
つまり、２７２７３円となります。
実際に計算してみると……
２７２７３×１．１＝３００００．３
となり、小数点以下を切り捨てて３万円になりました。
４０００円なら「３６３７円」、５０万円なら「４５４５４６円」。
千円までは上で紹介していますが、確かにこの法則に当てはまります。
（税抜き）→（税込み）
９１円 → １００円
１８２円 → ２００円
２７３円 → ３００円
３６４円 → ４００円
４５５円 → ５００円
５６４円 → ６００円
６３７円 → ７００円
７２８円 → ８００円
８１９円 → ９００円
千円、１万円などの桁上がりの時は？
奇数桁：1000a+100(9-a)+10a+(10-a)
偶数桁：10000a+1000(9-a)+100a+10(9-a)+(a+1)
これらの式の一の位に注目してみましょう。
桁があがるときのａの値は９です。
すると、奇数桁の場合は１となってしまいます。
例えば１０００円（４桁）にしたいとき、元の金額は３桁の金額となりますので、奇数桁，ａ＝９を利用します。
すると、一の位は１０－９＝１となってしまい、キリのいい１０００円にはならないのです。
対して、偶数桁の式では一の位が「ａ＋１」ですので、ａ＝９の場合でもきれいに「０」が出てきてくれるのです。
このことから、１０００円や１０万円など、桁上がりして偶数桁（桁上がり前が奇数桁）の場合、元の金額が整数であるとキリはよくならないことがわかりました。
さいごに
今回の計算は、今後の日常生活で一ミリも役に立たないことかもしれません。
計算機があれば数分で法則もきっかり１０００円に出来ないこともわかるでしょう。
しかし、あえて数式を使うことで頭の体操や式の分析の力が付きます。
特に、今回の計算は中学２～３年生にとって有益なものになります。
この内容は当塾での特別授業で行ったものです。
通常の数式の証明の授業より生徒の食いつきがよかったですね。
授業感想の中で一番印象深かったのは「日常生活で役に立つとはおもえないけど面白かった」というものです。
役に立たない・無駄とわかっていても面白いと感じることのできる感性を持ってくれていてうれしかったですね。
人物イラスト提供：アイキャッチャー様
